Trois doubles de suite

Votre adversaire vient de faire trois doubles de suite, au point de renverser une partie qui semblait bien engagée.

Vous faites peut-être le calcul : une chance sur six, multipliée par une sur six, puis encore par une sur six. Cela donne une chance sur 216. On se dit qu’un tel événement devrait être très rare.

Le calcul est juste pour trois jets choisis avant le premier lancer. Pendant une partie, la question vient souvent après le premier double : les deux jets suivants seront-ils aussi des doubles ?

Le premier double est déjà sorti

Après le premier double, vous attendez de voir si votre adversaire va en faire un autre.

La probabilité d’un double à son prochain jet reste d’une chance sur six. Le double précédent ne change pas les chances d’en obtenir un autre au prochain jet.

Et la probabilité que ses deux prochains jets soient des doubles est d’une chance sur 36. Si cela arrive, vous aurez vu trois doubles de suite.

Puisque le premier double est déjà sorti, le calcul ne porte plus que sur les deux jets suivants : on obtient une chance sur 36 plutôt qu’une sur 216.

Ces trois affirmations sont vraies parce qu’elles partent de moments différents.

Dans une séance, la série peut commencer n’importe où

Une autre raison explique pourquoi ces séries se produisent plus souvent que le chiffre de un sur 216 ne le laisse penser. En général, vous ne vous installez pas pour regarder trois jets, puis vous arrêter.

Une série peut commencer au premier jet, au deuxième ou au vingt-septième : plus vous jouez, plus elle a d’occasions de se former.

Sur 100 jets indépendants, la probabilité de voir au moins une série de trois doubles ou plus est d’environ 31,9 %. À peu près une séance de 100 jets sur trois en contiendra une.

Les trois prochains jets n’ont pas pour autant plus de chances d’être des doubles. Sur 100 jets, une série a bien plus d’occasions de commencer que sur trois jets seulement.

Même deux doubles de suite sont faciles à sous-estimer. Sur 100 jets, la probabilité d’en voir au moins une paire consécutive est d’environ 91,3 %.

Il faut aussi choisir la bonne suite de jets. Si vous dites « mon adversaire a fait trois doubles de suite », suivez ses propres tours. Vos jets entre les siens n’interrompent pas sa série. Et 100 jets signifient bien 100 jets, pas 100 parties.

Choisir trois jets, puis regarder l’ensemble

L’exemple ci-dessous permet d’essayer les deux questions avec les mêmes dés. Les trois premiers jets sont marqués avant de commencer. Ils ont une chance sur 216 d’être tous des doubles.

Regardez ensuite toute la séance. Cette fois, une série compte quel que soit l’endroit où elle apparaît. Vous pouvez lancer les dés un jet à la fois, ou afficher tous les jets restants.

Une séance sans série est normale : avec 31,9 % de chances de contenir trois doubles consécutifs ou plus, la majorité des séances de 100 jets n’en contiennent pas.

Ce que cette série vous apprend

Pour juger à quel point trois doubles étaient rares, même lorsqu’ils vous font perdre une course, précisez le point de départ du calcul : avant trois jets désignés, après le premier double ou en regardant toute la séance.

Ce raisonnement explique pourquoi une série peut arriver avec des dés équilibrés. Il ne prouve pas que les dés d’une application donnée le sont : pour le vérifier, il faut examiner leur fonctionnement.

Pour aller plus loin, deux suites aussi probables peuvent avoir des chances très différentes d’arriver en premier. Nous expliquons aussi comment CUBE Backgammon génère ses dés et permet de reproduire les jets enregistrés.

D’où viennent les chiffres ?

Nous supposons des jets équilibrés et indépendants. Un double a une probabilité de 6/36, soit 1/6. Pour trois jets choisis à l’avance, on multiplie 1/6 trois fois. Les chiffres sur 100 jets sont calculés en suivant le nombre de doubles présents à la fin de chaque suite possible, tout en retirant les suites qui ont déjà atteint la longueur recherchée. Cette méthode tient compte des séries qui se chevauchent : les jets 1 à 3 et les jets 2 à 4 ont deux jets en commun. On ne peut donc pas traiter chaque groupe de trois comme un essai indépendant.

L’exemple interactif utilise le générateur de nombres aléatoires cryptographique du navigateur pour simuler de nouveaux jets. Le pourcentage indiqué est calculé directement ; il n’est pas estimé à partir de votre seule séance. Pour aller plus loin, voir Runs in coin tossing: a general approach for deriving distributions for functionals, de Lars Holst et Takis Konstantopoulos, en anglais.